Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8m, rộng 6m và cao 4m có 1 cây quạt treo tường. Cây quạt A treo chính giữa bức tường và cách trần 1m, cây quạt B treo chính giữa bức tường và cách trần 1,5m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên dưới (đơn vị mét). Giả sử \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;b;c} \right)\). Tính a + b + c.

Gọi M(a; 0; 0) (a > 0) là điểm thuộc tia Ox.

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 1; - 2;0} \right),\overrightarrow {BM}  = \left( {a + 1;0; - 3} \right)\).

Để tam giác ABM vuông tại M thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 1\end{array} \right.\).

Vì a > 0 nên M(1; 0; 0).

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} \). Gọi M(x; y; z)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;0} \right)\), \(\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - x;1 - y;3 - z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x =  - 1\\1 - y = 3\\3 - z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 2\\z = 3\end{array} \right.\) Þ M(3; −2; 3).