Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\). Tính \(P = 2\tan \alpha - \cot \alpha .\)     

Với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right.\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {1 + 2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow 5{\cos ^2}\alpha + 4\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0{\rm{ }}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Từ hệ thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), suy ra \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) (do \(\sin \alpha < 0\))

và \[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}.\]

Thay \[\tan \alpha = \frac{3}{4}\] và \[\cot \alpha = \frac{4}{3}\]vào \(P\), ta được \[P = \frac{1}{6}.\] Chọn C.