Cho \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2 \) và \(P = \frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {m^2} - {n^2}\) biết \(P = \frac{m}{n}\) \((m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản).

Lớp 10E1 có 35 học sinh làm bài kiểm tra thường xuyên môn Toán. Đề bài gồm 3 bài toán. Sau khi kiểm tra cô giáo tổng hợp được kết quả như sau: có 12 học sinh chỉ giải được bài toán thứ nhất, 14 học sinh giải được bài toán thứ hai, 15 học sinh giải được bài toán thứ ba, 3 học sinh chỉ giải được bài toán thứ hai và thứ ba. Hỏi lớp 10E1 có bao nhiêu học sinh giải được cả 3 bài toán biết rằng mỗi học sinh đều làm được ít nhất một bài?

Một xưởng sản xuất đồ gỗ mỹ nghệ sản suất ra hai bộ sản phẩm loại \[I\] và loại \[II\]. Mỗi bộ sản phẩm loại \[I\] lãi \[5\] triệu đồng, mỗi bộ sản phẩm loại \[II\] lãi \[4\] triệu đồng. Để sản suất mỗi bộ sản phẩm loại \[I\] cần máy làm việc trong \[3\] giờ và nhân công làm việc trong \[2\] giờ. Để sản suất mỗi bộ sản phẩm loại \[II\] cần máy làm việc trong \[3\] giờ và nhân công làm việc trong \[1\] giờ. Biết rằng chỉ dùng máy hoặc chỉ dùng nhân công không thể đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc, số nhân công luôn ổn định. Một ngày máy làm việc không quá \[15\]giờ, nhân công làm việc không quá \[8\] giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày nếu bán hết toàn bộ sản phẩm làm ra.

Cho tam giác \[ABC\] có \[AC = 10,\,\,BC = 12,\,\,\widehat B = 45^\circ \].

a) Công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(R = \frac{{BC}}{{2\sin B}}\).

b) \(\sin A = \frac{{5\sqrt 2 }}{{12}}\).

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(5\sqrt 2 \).

d) \(\frac{{3BC - 2AC - AB}}{{6\sin A - 4\sin B - 2\sin C}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Phần nửa mặt phẳng bờ \(d\) không bị gạch ở hình vẽ sau là miền nghiệm của bất phương trình \(x + my \ge n\).

Giá trị của biểu thức \(S = 3m + n\) bằng bao nhiêu?