Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phí mua vào một chiếc là \(30\) triệu đồng và bán ra với giá \(35\) triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là \(400\) chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe X đang bán, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm \(1\) triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm \(100\) chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu thì lợi nhuận thu được cao nhất?

a) ĐÚNG

Với mọi giá trị của \(m\), hàm số\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2\) là hàm số đa thức bậc 3 liên tục trên \(\mathbb{R}\)nên liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) với mọi giá trị của \(m\).

b) SAI

Khi \(m = 0\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2\) có\(f'\left( x \right) = 3{x^2},f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Mặt khác \(f\left( 0 \right) = 2 > 0\), do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \(y\left( 0 \right)\).

c) SAI

Khi \(m = 1\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), có \(y\left( 0 \right) = 2,y\left( { - 2} \right) = 12\).

d) SAI

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3{m^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\forall m\).  Mặt khác

\(y\left( 0 \right) = 2,y\left( 1 \right) = \left| {3{m^2} + 3} \right|\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{m^2} + 3 = 5\\3{m^2} + 3 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{m^2} - 2 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\\3{m^2} + 8 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm, áp dụng định lí Vi-et cho phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được tổng các nghiệm là \({m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} = 0\).

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = 5\) là \(0\).

Đáp số: 1.

Ta có \[y = \frac{1}{3}{\cos ^3}x + \frac{1}{4}\cos 2x - 2\cos x + \frac{5}{4}\]

\[ = \frac{1}{3}{\cos ^3}x + \frac{1}{2}{\cos ^2}x - 2\cos x + 1.\]

Đặt \[t = \cos x\]\(\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)

Ta có \[y = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} - 2t + 1\]

\[y' = {t^2} + t - 2\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\, \in \left[ { - 1;1} \right]\\t =  - 2\,\, \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\]

\[y\left( { - 1} \right) = \frac{{19}}{6};\,\,y\left( 1 \right) =  - \frac{1}{6}.\]

\[ \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \,\,y = y\left( { - 1} \right) = \frac{{19}}{6}.\]

Suy ra \(m - 3n = 19 - 3.6 = 1\)