Cô Hạnh đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô màu) với kích thước được cho trong hình sau. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đổ lớp bê tông dày 15 cm và giá tiền 1 m³ bê tông là 1 080 000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng \(10\,{\rm{cm}} = 1\,{\rm{dm}}\)), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình \(y = \frac{{{x^2}}}{3}\), \(y =  - \frac{{{x^2}}}{3}\),\(x =  - \frac{{{y^2}}}{3}\),\(x = \frac{{{y^2}}}{3}\).

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phần tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = \frac{{{x^2}}}{3}\),\(y = \sqrt {3x} \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 3\).

Do đó diện tích một cánh hoa bằng: \(\int\limits_0^3 {\left( {\sqrt {3x}  - \frac{{{x^2}}}{3}} \right){\rm{d}}x} \) \[ = 3\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = 300\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Đáp án: 300.

a) Sai. Dựa vào đồ thị \(v\left( t \right)\).

b) Đúng. Trong \(3\) giây đầu tiên, vận tốc của chuyển động là \(v\left( t \right) = 11\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Do đó quãng đường chất điểm chuyển động trong \(3\)giây đầu tiên là: \({S_1} = \int\limits_0^3 {11{\rm{d}}t} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

c) Đúng. Trong khoảng thời gian từ \(8\) đến \(15\) giây, đồ thị \(v\left( t \right)\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {8;21} \right)\) và \(\left( {15;0} \right)\). Ta có: \(v\left( t \right) = at + b\).

Từ giả thiết ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8a + b = 21}\\{15a + b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 3}\\{b = 45}\end{array}} \right.\).

Do đó \(v\left( t \right) =  - 3t + 45\,\,\left( {8 \le t \le 15} \right)\).

Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian này là:

\({S_2} = \int\limits_8^{15} {\left( { - 3t + 45} \right){\rm{d}}t}  =  - \frac{{3{t^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{15}\\8\end{array}} \right. + 45t\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{15}\\8\end{array}} \right. = \frac{{147}}{2} = 73,5\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Sai. Trong khoảng thời gian từ \(3\) đến \(8\) giây đồ thị \(v\left( t \right)\) là một Parabol đi qua các điểm có tọa độ lần lượt là  \(\left( {3;11} \right),\left( {5;3} \right),\left( {8;21} \right)\) có phương trình dạng: \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).

Từ giả thiết ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9a + 3b + c = 11}\\{25a + 5b + c = 3}\\{64a + 8b + c = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b =  - 20}\\{c = 53}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(v\left( t \right) = 2{t^2} - 20t + 53\,\,\left( {3 \le t \le 8} \right)\).

Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian này là:

\[{S_3} = \int\limits_3^8 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} - 20t + 53} \right){\rm{d}}t = \,\,} \left( {\frac{{2{t^3}}}{3} - 10{t^2} + 53t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}8\\3\end{array}} \right. = \frac{{115}}{3}\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian này là: \({v_{tb}} = \frac{{{S_3}}}{5} = \frac{{23}}{3} \approx 7,67\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).