Trong không gian với hệ tọa độ \[\left( {Oxyz} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] biết \[\left( \alpha \right)\] đi qua điểm \[M\left( { - 1;5;2} \right)\] đồng thời \[\left( \alpha \right)\] có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {0;1;1} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( { - 3; - 5;1} \right)\] có phương trình là
Quảng cáo
Trả lời:

Chọn B
Ta có \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {6; - 3;3} \right) = 3\left( {2\,;\, - 1\,;\,1} \right)\]. Chọn \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\] là 1 vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha \right)\].
Phương trình mặt phẳng qua \[M\left( { - 1;5;2} \right)\] nhận \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\] làm 1 vectơ pháp tuyến là:
\(2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 5} \right) + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z + 5 = 0\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Sai. Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\left( {1;\,3;\,7} \right)\] bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\].
b) Đúng. Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 2 < 3\] nên điểm \[A\] nằm trong mặt cầu. Vì điểm \[A\] nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[A\left( {2;\,2;\,7} \right)\] có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
c) Đúng. Ta có: \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
d) Đúng. Ta có: \[\overrightarrow {IB} \left( {4;\,3;\,0} \right);\] \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng \[BI\] dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\end{array} \right.\].
Gọi mặt cầu \[\left( S \right) \cap BI \equiv E\] suy ra tọa độ \[E\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{5}\\x = \frac{{17}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{{24}}{5};7} \right) \Rightarrow EB \approx 1,7\\\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{3}{5}\\x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{6}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{7}{5};\,\frac{6}{5};7} \right) \Rightarrow EB = 8\end{array} \right.\]
Vậy khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét là \[8\,\]km.
Lời giải
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).
Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)
\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).
Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)
Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y > - 12\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {2.36} = 6\sqrt 2 \).
Đặt \(t = x + y \Rightarrow - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}} = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).
\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).
Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 } \approx 44\).
Đáp án: 44.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.