Câu hỏi:

07/10/2025 270 Lưu

B. Tự luận

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,x - 2y - 3{\rm{z}} + 20 = 0\). Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + 5 = 0}\\{x - 2y - 3z + 20 = 0}\end{array}} \right.\,\).

Từ phương trình thứ nhất chọn \(x =  - 5 \Rightarrow y = 0\). Thay vào phương trình còn lại ta được \(z = 5\).

Vậy điểm \(A\left( { - 5;0;5} \right)\) là một điểm thuộc đường nóc nhà. Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và bằng 5 mét.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).

Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:

\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)

\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).

Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)

Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y >  - 12\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}  = \sqrt {2.36}  = 6\sqrt 2 \).

Đặt \(t = x + y \Rightarrow  - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).

\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).

Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}}  = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 }  \approx 44\).

Đáp án: 44.

Lời giải

Do máy bay bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {200;70;118} \right)\) và \(\left( {80;105;113} \right)\) nên quỹ đạo bay của máy bay là đường thẳng có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 - 24t}\\{y = 70 + 7t}\\{z = 118 - t}\end{array}} \right.\)

Sau 50 giây, độ cao của máy bay giảm 400 m, tức là cao độ của máy bay giảm đi 4. Do máy bay bay với vận tốc không đổi nên sau 25 giây, độ cao của máy bay sẽ giảm đi thêm 200 m, tức là cao độ giảm đi thêm 2. Khi đó, tại thời điểm này, cao độ của máy bay là \(118 - 4 - 2 = 112\).

Xét phương trình \(118 - t = 112 \Leftrightarrow t = 6\). Khi đó, sau 75 giây, toạ độ của máy bay là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 200 - 24.6 = 56}\\{{y_0} = 70 + 7.6 = 112}\\{{z_0} = 118 - 6 = 112}\end{array}} \right.\).

Khoảng cách từ sân bay đến máy bay khi đó là

\(S = \sqrt {{{5600}^2} + {{11200}^2} + {{11200}^2}}  = 16800\,{\rm{(m)}} = 16,8\,\,{\rm{(km)}}\).

Đáp án: 16,8.

Câu 5

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).   
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\end{array} \right.\).              
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).                          
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \(z + 2 = 0\).               
B. \(z - 2 = 0\).              
C. \(2x - 3y = 0\).                                   
D. \(2x - 3y - 2 = 0\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP