Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \vec 0\). Phân tích \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Ta phân tích \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {AF}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\frac{4}{3}\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AF} } \right.} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow {OP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Khi đó: \(3\overrightarrow {AP}  - 2\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OP} ) - 2.2\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC}  \Rightarrow P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), do vậy trung tuyến \(BN\) của tam giác \(BCD\) đi qua trọng tâm \(P\) đó. Vậy ba điểm \(B,P,N\) thẳng hàng.

Nhận xét: \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại tâm \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác \(:\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0\).

Do đó \(O\) là trung điểm của \(MN\) hay \(AC,BD,MN\) đồng quy tại \(O\).