Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(E\) và \(F\) là 2 điểm thỏa \(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BF}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BD} \). Khi đó \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AF} \). Vậy \(k = ?\)

Chọn A 

Ta có: \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OM}  = 4\overrightarrow {OD} \) (1)

Tương tự \(\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OE} \) (2)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OF} \) (3)

Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow {OP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Khi đó: \(3\overrightarrow {AP}  - 2\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OP} ) - 2.2\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC}  \Rightarrow P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), do vậy trung tuyến \(BN\) của tam giác \(BCD\) đi qua trọng tâm \(P\) đó. Vậy ba điểm \(B,P,N\) thẳng hàng.

Nhận xét: \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại tâm \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác \(:\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0\).

Do đó \(O\) là trung điểm của \(MN\) hay \(AC,BD,MN\) đồng quy tại \(O\).