Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(E\) và \(F\) là 2 điểm thỏa \(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BF}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BD} \). Khi đó \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AF} \). Vậy \(k = ?\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow {OP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Khi đó: \(3\overrightarrow {AP}  - 2\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OP} ) - 2.2\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC}  \Rightarrow P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), do vậy trung tuyến \(BN\) của tam giác \(BCD\) đi qua trọng tâm \(P\) đó. Vậy ba điểm \(B,P,N\) thẳng hàng.

Nhận xét: \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại tâm \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác \(:\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0\).

Do đó \(O\) là trung điểm của \(MN\) hay \(AC,BD,MN\) đồng quy tại \(O\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow  - \overrightarrow {AI}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB}  + 3\overrightarrow {JC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ}  - 2\overrightarrow {BJ}  + 3(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ}  - 2\overrightarrow {BJ}  + 3\overrightarrow {BC}  - 3\overrightarrow {BJ}  = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  =  - 4\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BI}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {BJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BI}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\frac{3}{2}\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {BI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BJ} } \right.} \right.\)