Cho hình bình hành \(ABCD\), tâm \(O\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,CD\) và \(P\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} \). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\)

b) \(3\overrightarrow {AP}  - 3\overrightarrow {AC}  = \vec 0\)

c) Ba điểm \(B,P,N\) không thẳng hàng

d) Ba đường thẳng \(AC,BD,MN\) đồng quy

Ta phân tích \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {AF}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\frac{4}{3}\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AF} } \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow  - \overrightarrow {AI}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB}  + 3\overrightarrow {JC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ}  - 2\overrightarrow {BJ}  + 3(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ}  - 2\overrightarrow {BJ}  + 3\overrightarrow {BC}  - 3\overrightarrow {BJ}  = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  =  - 4\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BI}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {BJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BI}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\frac{3}{2}\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {BI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BJ} } \right.} \right.\)