Cho hình bình hành \(ABCD\), tâm \(O\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,CD\) và \(P\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} \). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\)

b) \(3\overrightarrow {AP}  - 3\overrightarrow {AC}  = \vec 0\)

c) Ba điểm \(B,P,N\) không thẳng hàng

d) Ba đường thẳng \(AC,BD,MN\) đồng quy

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow {OP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Khi đó: \(3\overrightarrow {AP}  - 2\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OP} ) - 2.2\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC}  \Rightarrow P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), do vậy trung tuyến \(BN\) của tam giác \(BCD\) đi qua trọng tâm \(P\) đó. Vậy ba điểm \(B,P,N\) thẳng hàng.

Nhận xét: \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại tâm \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác \(:\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0\).

Do đó \(O\) là trung điểm của \(MN\) hay \(AC,BD,MN\) đồng quy tại \(O\).