Cho tứ giác lồi \(ABCD\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trực tâm các tam giác \(ABO\) và \(CDO\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC\). Tính \(\overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {IJ} \)?

Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\), biết \(AD = a,BC = 3a\) và cạnh \(AB = 2a\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BD}  =  - 4{a^2}\)

b) \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 2{a^2}\)

c) \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  =  - 2{a^2}\)

d) Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khi đó\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {IJ}  = 6{a^2}\)

Cho đoạn \(AB = 20\). Tồn tại điểm \(M\) sao cho \(T = 3M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất \({T_{\min }}\). Tính giá trị \({T_{\min }}\)?

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), có cạnh \(a\). Biết \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ADM\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CA}  = {a^2}\)

b) \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{3}\)

c) \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\)

d) \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} ) = {a^2}\)

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,BC = 2a\). Khi đó:

a) $\widehat{ACB}={60}^{°}$

b) \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = {a^2}\)

c) \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  = 3{a^2}.\)

d) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - 4{a^2}\)

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), cạnh bằng \(a\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DC}  = 2{a^2}\);

b) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {OC}  = {a^2}\);

c) \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - {a^2}\);

d) \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} ) = {a^2}\)