Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {1 \le x \le 4} \right)\) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và x. Thể tích vật thể là bao nhiêu?

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là \({S_A} = 4\) và \({S_B} = 10\). Tính giá trị của \(f\left( 3 \right)\), biết giá trị của \(f\left( 0 \right) = 2\).

Cho đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) và \({S_1};{S_2}\) là phần diện tích phần được tô như hình bên dưới

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} \).

b) \({S_1} = \frac{4}{3}\).

c) \({S_1} = {S_2}\).

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2,y = x - 1,x = 0,x = 3\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx = 1} \).

Hình dưới mô phỏng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x + \frac{3}{2}\) với \(0 \le x \le 4\) quanh trục hoành. Biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là dm, thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB) trong hình vẽ bên.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x,x = 1,x = 2\) và trục hoành. Gọi S là diện tích của D.

a) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \).

b) \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \).

c) Thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox được tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}dx} \).

d) \(S = \frac{5}{6}\).

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2{e^x}\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \pi \int\limits_0^4 {xdx} \).

b) Gọi \(V\) là diện tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox\). Khi đó \(V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\).

c) Diện tích của hình H là \({S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}\).

d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục \(Ox\)là \(2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = - 1;x = 1\). Cắt vật thể (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại \(x\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).

a) Mặt cắt có diện tích \(S\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

b) Thể tích vật thể được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx} \).

c) Diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = 2\left( {1 - {x^2}} \right)\).

d) Thể tich của vật thể (T) bằng \(\frac{{16}}{3}\).