Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {1 \le x \le 4} \right)\) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và x. Thể tích vật thể là bao nhiêu?

Cho đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) và \({S_1};{S_2}\) là phần diện tích phần được tô như hình bên dưới

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} \).

b) \({S_1} = \frac{4}{3}\).

c) \({S_1} = {S_2}\).

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2,y = x - 1,x = 0,x = 3\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx = 1} \).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là \({S_A} = 4\) và \({S_B} = 10\). Tính giá trị của \(f\left( 3 \right)\), biết giá trị của \(f\left( 0 \right) = 2\).

Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB) trong hình vẽ bên.

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2{e^x}\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \pi \int\limits_0^4 {xdx} \).

b) Gọi \(V\) là diện tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox\). Khi đó \(V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\).

c) Diện tích của hình H là \({S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}\).

d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục \(Ox\)là \(2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x,x = 1,x = 2\) và trục hoành. Gọi S là diện tích của D.

a) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \).

b) \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \).

c) Thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox được tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}dx} \).

d) \(S = \frac{5}{6}\).

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \), trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng \(d:ax + by - 16 = 0\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) và chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính \(a + b\).