Cho \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Tính \(f\left( 1 \right)\)(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Ta có \(B\left( t \right) = \int {\left( {4{t^3} - 3{t^2} + 200} \right)dt}  = {t^4} - {t^3} + 200t + C\).

Mà \(B\left( 2 \right) = 1200\)\( \Rightarrow {2^4} - {2^3} + 200.2 + C = 1200 \Rightarrow C = 792\).

Khi đó \(B\left( t \right) = {t^4} - {t^3} + 200t + 792\).

Sau 6 giờ lượng khách tham quan là \(B\left( 6 \right) = {6^4} - {6^3} + 200.6 + 792 = 3072\) (khách).

Trả lời: 3072.

a) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

b) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{2^x}dx}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

c) Vì \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\) nên \(\frac{1}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).

d) Ta có \(F\left( 0 \right) = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}}\); …; \(F\left( {2024} \right) = \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\).

Khi đó \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \)\[ = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + ... + \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\]

\[ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)\]\[ = \frac{{{2^{2026}} - 1}}{{\ln 2}}\].

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng; d) Sai.