Trong không gian, cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?     

Ta có \({u_1} = 5 - 2 \cdot 1 = 3;\,\,{u_2} = 5 - 2 \cdot 2 = 1;\,\,{u_3} = 5 - 2 \cdot 3 = - 1;\,\,...........\)

Khi đó, công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 1 - 3 = - 2\). Chọn A.

a) Đúng. Ta có \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)\).

Lại có \(H \in AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(H \in \left( {SHC} \right)\) nên \(H \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SHC} \right)\) là \(SH\).

b) Sai. Vì \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) và \(G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) nên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với \(AB\) hoặc \(MN\).

c) Đúng. Vì \(\frac{{HG}}{{HS}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GN{\rm{//}}SC \Rightarrow GN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

d) Sai.

Chọn mặt phẳng \(\left( {SHC} \right)\) chứa đường thẳng \(NG\).

Ta tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\,\,{\rm{v\`a }}\,\,\left( {SHC} \right)\) là \(SE\) như hình vẽ trên (với \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(HC\)). Gọi \(P\) là giao điểm của \(NG\) và \(SE\) thì \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Qua \(G\) kẻ \(GQ{\rm{//}}AB\,\,\left( {Q \in SA} \right)\) ta có: \(\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}}\).

Lại có \(MN = \frac{2}{3}AB = \frac{4}{3}HA \Rightarrow HA = \frac{3}{4}MN\) \( \Rightarrow GQ = \frac{2}{3}HA = \frac{1}{2}MN \Rightarrow \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1\).

Cách khác: Dễ dàng tính được \(\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{{EP}}{{ES}} = \frac{2}{3}\); \(\frac{{NH}}{{HE}} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác \(NEP\) ta có: \(\frac{{NH}}{{HE}} \cdot \frac{{ES}}{{SP}} \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1\).