Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \({G_1},{G_2}\) là trọng tâm của các tam giác\(A'BD,B'D'C\). Khi đó:

a) \(A'D'CB\) là hình bình hành.

b)\(\left( {A'BD} \right)//\left( {B'D'C} \right)\).

c) \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc \(AC'\).

d) \({G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AC'\).

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'D'//BC}\\{A'D' = BC}\end{array} \Rightarrow A'D'CB} \right.\) là hình bình hành.

b) \(A'D'CB\) là hình bình hành nên \(A'B//CD' \Rightarrow A'B//\left( {B'D'C} \right)\). (1)

Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'B'//CD}\\{A'B' = CD}\end{array} \Rightarrow A'B'CD} \right.\) là hình bình hành.

Suy ra \(A'D//B'C \Rightarrow A'D//\left( {B'D'C} \right)\).(2)

Từ (1) và \((2)\) suy ra \(\left( {A'BD} \right)//\left( {B'D'C} \right)\).

c) Gọi \(O,O',I\) theo thứ tự là tâm của các hình bình hành \(ABCD,A'B'C'D'\), \(ACC'A'\).

Vì \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(AB'D\) nên \(\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {G_1}\) là trọng tâm tam giác \(A'AC\), suy ra \({G_1} = AI \cap A'O\). (3)

Tương tự, \({G_2}\) là trọng tâm tam giác \(B'D'C\) nên \(\frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow {G_2}\) là trọng tâm tam giác \(A'C'C\), suy ra \({G_2} = C'I \cap CO'\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc \(AC'\).

d) Chứng minh \(A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\):

Ta có: \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{A{G_1}}}{{AC'}} = \frac{1}{3};\frac{{C'{G_2}}}{{C'I}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{C'{G_2}}}{{AC'}} = \frac{1}{3}\).

Do vậy \(A{G_1} \buildrel\textstyle.\over= {G_1}{G_2} = {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\).

Vậy \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc \(AC'\), đồng thời chia \(AC'\) thành ba phần bằng nhau.