Nam đang tiết kiệm tiền để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 12 đô la, tuần thứ hai 15 đô la, tuần thứ ba 18 đô la và cứ như vậy mỗi tuần tiếp theo anh ta để dành nhiều hơn tuần liền trước đó 3 đô la. Một cây guitar có giá ít nhất 567 đô la. Hỏi tối thiểu vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua một cây guitar?

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\frac{{0,5.25 + 1.32 + 1,5.14 + 2.12 + 2,5.4}}{{87}} \approx 1,14\).

b) Ta thấy nhóm \([0,75;1,25)\) có tần số lớn nhất (\(n = 32\)) nên nhóm chứa mốt của số liệu là \([0,75;1,25)\).

c) Mốt của mẫu số liệu là \({M_0} = 0,75 + \frac{{32 - 25}}{{(32 - 25) + (32 - 14)}}(1,25 - 0,75) = 0,89\).

d) Gọi \({x_1},{x_2}, \ldots {x_{87}}\) lần lượt là độ cận của các học sinh sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu là \({x_{44}} \in [0,75;1,25)\).

Nên: \({M_e} = 0,75 + \frac{{\frac{{87}}{2} - 25}}{{32}}(1,25 - 0,75) \approx 1,039\).

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'D'//BC}\\{A'D' = BC}\end{array} \Rightarrow A'D'CB} \right.\) là hình bình hành.

b) \(A'D'CB\) là hình bình hành nên \(A'B//CD' \Rightarrow A'B//\left( {B'D'C} \right)\). (1)

Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'B'//CD}\\{A'B' = CD}\end{array} \Rightarrow A'B'CD} \right.\) là hình bình hành.

Suy ra \(A'D//B'C \Rightarrow A'D//\left( {B'D'C} \right)\).(2)

Từ (1) và \((2)\) suy ra \(\left( {A'BD} \right)//\left( {B'D'C} \right)\).

c) Gọi \(O,O',I\) theo thứ tự là tâm của các hình bình hành \(ABCD,A'B'C'D'\), \(ACC'A'\).

Vì \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(AB'D\) nên \(\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {G_1}\) là trọng tâm tam giác \(A'AC\), suy ra \({G_1} = AI \cap A'O\). (3)

Tương tự, \({G_2}\) là trọng tâm tam giác \(B'D'C\) nên \(\frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow {G_2}\) là trọng tâm tam giác \(A'C'C\), suy ra \({G_2} = C'I \cap CO'\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc \(AC'\).

d) Chứng minh \(A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\):

Ta có: \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{A{G_1}}}{{AC'}} = \frac{1}{3};\frac{{C'{G_2}}}{{C'I}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{C'{G_2}}}{{AC'}} = \frac{1}{3}\).

Do vậy \(A{G_1} \buildrel\textstyle.\over= {G_1}{G_2} = {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\).

Vậy \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc \(AC'\), đồng thời chia \(AC'\) thành ba phần bằng nhau.