Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là

a) Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 2\) nên \(y = - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Giao điểm với trục tung là điểm có tung độ \(f\left( 0 \right) = \frac{b}{d}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 0 \right) < 0\).

d) Vì \(f\left( 0 \right) < 0\) nên \(b,d\) trái dấu.

Vì tiện cận ngang của đồ thị hàm số \(y = - 2\) nên \(\frac{a}{c} = - 2 < 0\). Do đó \(a,c\) trái dấu.

Do đó trong các số \(a,b,c,d\) có hai số dương.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng;   d) Đúng

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = - \infty \). Suy ra \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \(y = x + 2 + \frac{7}{{x - 2}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{x - 2}} = 0\). Do đó \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đường thẳng \({d_2}:y = x + 2\) cắt trục \(Oy\) tại \(A\left( {0;2} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt \({d_2}:y = x + 2\) tại \(B\left( {2;4} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt trục \(Ox\) tại \(C\left( {2;0} \right)\).

Do đó hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông \(OABC\).

Khi đó \({S_{OABC}} = \frac{{\left( {OA + BC} \right).OC}}{2} = 6\).

Trả lời: 6.