Cho hàm số \(y = \frac{{ - m{x^2} + (4\;m - 2)x + 1 - 4\;m}}{{x - 1}}\)

 Khi \(m = 1:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} =  - x + 1 - \frac{2}{{x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

\({y^\prime } = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - \sqrt 2  \Rightarrow y = 2\sqrt 2 }\\{x = 1 + \sqrt 2  \Rightarrow y =  - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 \pm } y =  \pm \infty :x = 1\)là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm x} y =  - x + 1:y =  - x + 1\)là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

\(x = 0 \Rightarrow y = 3\)

\(y = 0 \Rightarrow  - {x^2} + 2x - 3 = 0\), đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\)

 \(y = \frac{{ - m{x^2} + (4m - 2)x + 1 - 4m}}{{x - 1}} \Rightarrow {y^\prime } = \frac{{ - m{x^2} + 2mx - 4m + 2 - 1 + 4m}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Suy ra \({y^\prime } = \frac{{ - m{x^2} + 2mx + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Dấu \({y^\prime }\) là dấu của tam thức \(g(x) =  - m{x^2} + 2mx + 1\)

\(\begin{array}{l}g(x){\rm{ c\'o  }}{\Delta ^\prime } = {m^2} + m\\g(1) =  - m + 2m + 1 = m + 1\end{array}\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{m + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Lúc này, hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x = {x_1},x = {x_2}\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1} \cdot {x_2} =  - \frac{1}{m}}\end{array}} \right.\).

Giả sử \({x_1} < {x_2}\)

Theo yêu cầu bài toán:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 0}\\{{x_1} \cdot {x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 > 0{\rm{ (lu\^o n d\'u ng) }}}\\{ - \frac{1}{m} > 0}\end{array} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.} \right.\)

Giao với điều kiện \({\Delta ^\prime } > 0\) được \(m <  - 1\)

 \(y_x^\prime  = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Đường thẳng \(x - y = 0\) có hệ số góc \(k = 1\)

Để tiếp tuyến của \((C)\) song song với đường thẳng \(y = x\), cần và đủ là

\(\begin{array}{*{20}{l}}{y_x^\prime  = 1}&{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{\frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{ - {x^2} + 2x + 1 = {x^2} - 2x + 1}\end{array}} \right.} \right.}\\{}&{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{2{x^2} - 4x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\{x = 2 \Rightarrow y =  - 3}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}\)

Có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}\left( {{T_1}} \right):y = 1(x - 0) + 3 \Leftrightarrow y = x + 3\\\left( {{T_2}} \right):y = 1(x - 2) - 3 \Leftrightarrow y = x - 5\end{array}\)