Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\).
1) Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].
3) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đường thẳng \(AO\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(I\), đường thẳng \[EF\] cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(P\). Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\).
1) Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].
3) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đường thẳng \(AO\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(I\), đường thẳng \[EF\] cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(P\). Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn. |
|
Vẽ đúng hình đến ý 1) |
|
Xét tứ giác \(BCEF\) ta có: \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(\(BE\) là đường cao) |
|
\(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (\(CF\) là đường cao) |
|
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (đỉnh \(E\), \(F\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một góc vuông). |
|
Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\]. |
|
Do tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ABC}\] (vì cùng bù với \(\widehat {FEC}\)) |
|
Kẻ đường kính \(AQ\) \( \Rightarrow \Delta AQC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow \widehat {QAC} + \widehat {AQC} = 90^\circ \) |
|
Xét \(\left( O \right)\) có |
|
\[ \Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {EAO} = 90^\circ \Rightarrow AO \bot EF\] |
|
Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\). |
|
\(\widehat {EAO} = \widehat {HAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {EAP} = \widehat {IAB}\) |
|
\(\widehat {AEP} = \widehat {ABI}\)
|
|
\[\left( 1 \right)\] \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\) \(\left( 2 \right)\) |
|
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HQ\) \(\left( 3 \right)\) Xét tứ giác \(BHCQ\) có: \(BH\,{\rm{//}}\,CQ\) (vì cùng vuông góc với \(AC\)) \(BQ\,{\rm{//}}\,CH\) (vì cùng vuông góc với \(AB\)) \( \Rightarrow BHCQ\) là hình bình hành \( \Rightarrow BC,HQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Mà \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(HQ\) \( \Rightarrow H,K,Q\) thẳng hàng (4) Từ (3) và (4) suy ra \(KH\,{\rm{//}}\,IP\). |
|
Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\]. |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. |
|
Bồn nước đựng được số mét khối nước là: \[0,32.1,75 = 0,56\,\,\left( {{m^3}} \right).\] |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là \[x\] và \[y\] (ngày) \[\left( {x > 15,y > 15} \right)\]. |
|
Một ngày đội thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc). Một ngày đội thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc). |
|
Vì hai đội cùng làm trong \[15\] ngày thì hoàn thành xong công việc nên trong một ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{{15}}\] (công việc). Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\] (1). |
|
Ba ngày đội đội thứ nhất làm được \[\frac{3}{x}\] (công việc). Năm ngày đội thứ hai làm được \[\frac{5}{y}\] (công việc). Vì đội thứ nhất làm trong \[3\] ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong \[5\] ngày thì cả hai đội hoàn thành xong \[25\% = \frac{1}{4}\] (công việc). Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\] (2). |
|
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\] |
|
Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 40\end{array} \right..\] |
|
Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x = 24\) và \(y = 40\) thỏa mãn. Kết luận: thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[24\] (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[40\] (ngày). |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập