khoahoc.vietjack.com
Giảm 50% Kích hoạt VIP
khoahoc.vietjack.com
Kích hoạt VIP Đăng nhập
Tạo VIP
  2. Ôn vào 10
  3. Toán

Câu hỏi:

28/10/2025 10,725 Lưu

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\).

1) Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].

3) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đường thẳng \(AO\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(I\), đường thẳng \[EF\] cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(P\). Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án !!

Flashcard Bắt Đầu Thi Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

Vẽ đúng hình đến ý 1)

Xét tứ giác \(BCEF\) ta có:

\(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(\(BE\) là đường cao)

\(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (\(CF\) là đường cao)

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (đỉnh \(E\), \(F\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một góc vuông).

Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].

Do tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ABC}\] (vì cùng bù với \(\widehat {FEC}\))

Kẻ đường kính \(AQ\)

\( \Rightarrow \Delta AQC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat {QAC} + \widehat {AQC} = 90^\circ \)

Xét \(\left( O \right)\) có

\[ \Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {EAO} = 90^\circ  \Rightarrow AO \bot EF\]

Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).

\(\widehat {EAO} = \widehat {HAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {EAP} = \widehat {IAB}\)

\(\widehat {AEP} = \widehat {ABI}\)

 

\[\left( 1 \right)\]

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HQ\) \(\left( 3 \right)\)

Xét tứ giác \(BHCQ\) có:

\(BH\,{\rm{//}}\,CQ\) (vì cùng vuông góc với \(AC\))

\(BQ\,{\rm{//}}\,CH\) (vì cùng vuông góc với \(AB\))

\( \Rightarrow BHCQ\) là hình bình hành

\( \Rightarrow BC,HQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(HQ\)

\( \Rightarrow H,K,Q\) thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(KH\,{\rm{//}}\,IP\).

Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

  • Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
  • Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
  • Đăng ký ngay
Avatar

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao \[1,75\,\,m\] và diện tích đáy là \[0,32\,\,{m^2}\]. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Lời giải

Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa.

Bồn nước đựng được số mét khối nước là:

\[0,32.1,75 = 0,56\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

Câu 2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau \[15\] ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong \[3\] ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong \[5\] ngày thì cả hai đội hoàn thành được \[25\% \] công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Lời giải

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là \[x\] và \[y\] (ngày) \[\left( {x > 15,y > 15} \right)\].

Một ngày đội thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong \[15\] ngày thì hoàn thành xong công việc nên trong một ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{{15}}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\]                                         (1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được \[\frac{3}{x}\] (công việc).

Năm  ngày đội thứ hai làm được \[\frac{5}{y}\] (công việc).

Vì đội thứ nhất làm trong \[3\] ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong \[5\] ngày  thì cả hai đội hoàn thành xong \[25\%  = \frac{1}{4}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\]                                              (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 40\end{array} \right..\]

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x = 24\) và \(y = 40\) thỏa mãn.

Kết luận: thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[24\] (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[40\] (ngày).

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[(d):y = 2mx - {m^2} + 1\] và parabol \[(P):y = {x^2}\].

a) Chứng minh \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả giá trị của m để \[(d)\] cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai biểu thức \[A = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}}\] và \[B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\] với \[x \ge 0,x \ne 25\].

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

2) Rút gọn biểu thức \[B\].

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức  \[P = A.B\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải phương trình: \[{x^4} - 7{x^2} - 18 = 0.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đăng ký

Bạn đã có tài khoản?

Khóa học 1 - 12
THPT
THCS
Phòng luyện đề
ĐGNL - ĐGTD
Tốt nghiệp THPT
Ôn vào 10
Ôn vào 6
Tài liệu
THPT
THCS
Tin Tuyển Sinh
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
Giấy chứng nhận ĐKKD số: 0108307822 do Sở KH & ĐT TP Hà Nội cấp lần đầu ngày 04/06/2018
© 2017 Vietjack37. All Rights Reserved.
zalo Nhắn tin Zalo Hỏi bài tập