Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].
Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Từ \[{a^2} + {b^2} + ab = 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\] \[P = {a^4} + {b^4} - ab\] \[ = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - ab\] \( = - {a^2}{b^2} - 7ab + 9\) \( = - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{85}}{4}\) Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3\) \[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + ab + ab = 3 + ab\] \[ \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 3 + ab\] Mà \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 3 + ab \ge 0 \Rightarrow ab \ge - 3\) Mặt khác do \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\] (BĐT Cosi) \[ \Rightarrow 3 - ab \ge 2ab \Rightarrow 3ab \le 3 \Leftrightarrow ab \le 1\] |
0,25 |
|
Khi đó \[ - 3 + \frac{7}{2} \le ab + \frac{7}{2} \le 1 + \frac{7}{2}\] \( \Rightarrow \frac{1}{4} \le {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{{81}}{4}\) \( \Rightarrow - \frac{1}{4} \ge - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge - \frac{{81}}{4}\) \( \Rightarrow \frac{{84}}{4} - \frac{1}{4} \ge P \ge \frac{{85}}{4} - \frac{{81}}{4}\) \( \Rightarrow 21 \ge P \ge 1\) GTLN của \(P\) là 21, xảy ra khi \(a = \sqrt 3 ,b = - \sqrt 3 \) hoặc \(a = - \sqrt 3 ,b = \sqrt 3 \) GTNN của \(P\) là 1, xảy ra khi \(a = b = 1\) hoặc \(a = b = - 1\). |
0,25 |
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
Cách 1: Đặt \[t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\left( * \right)\] Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[{t^2} - 7t - 18 = 0\left( 2 \right)\] Ta có: \[\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 18} \right) = 121 = {11^2} \Rightarrow \sqrt \Delta = 11\] Suy ra: Phương trình \[\left( 2 \right)\] có hai nghiệm phân biệt là: \[{t_1} = \frac{{7 + 11}}{2} = 9\,\,\left( {tm} \right)\] và \[{t_2} = \frac{{7 - 11}}{2} = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\] Thay \[t = 9\] vào \[\left( * \right)\] ta có: \[{x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3\] hoặc \(x = - 3\). Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {3; - 3} \right\}\). Cách 2: \[{x^4} - 7{x^2} - 18 = 0\] \[ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 9{x^2} - 18 = 0\] \[ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) - 9\left( {{x^2} + 2} \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 0\,\,\,\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\{x^2} - 9 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow {x^2} = 9\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\). Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {3; - 3} \right\}\). |
Lời giải
|
Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. |
|
Bồn nước đựng được số mét khối nước là: \[0,32.1,75 = 0,56\,\,\left( {{m^3}} \right).\] |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo