Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].
Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Từ \[{a^2} + {b^2} + ab = 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\] \[P = {a^4} + {b^4} - ab\] \[ = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - ab\] \( = - {a^2}{b^2} - 7ab + 9\) \( = - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{85}}{4}\) Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3\) \[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + ab + ab = 3 + ab\] \[ \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 3 + ab\] Mà \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 3 + ab \ge 0 \Rightarrow ab \ge - 3\) Mặt khác do \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\] (BĐT Cosi) \[ \Rightarrow 3 - ab \ge 2ab \Rightarrow 3ab \le 3 \Leftrightarrow ab \le 1\] |
0,25 |
|
Khi đó \[ - 3 + \frac{7}{2} \le ab + \frac{7}{2} \le 1 + \frac{7}{2}\] \( \Rightarrow \frac{1}{4} \le {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{{81}}{4}\) \( \Rightarrow - \frac{1}{4} \ge - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge - \frac{{81}}{4}\) \( \Rightarrow \frac{{84}}{4} - \frac{1}{4} \ge P \ge \frac{{85}}{4} - \frac{{81}}{4}\) \( \Rightarrow 21 \ge P \ge 1\) GTLN của \(P\) là 21, xảy ra khi \(a = \sqrt 3 ,b = - \sqrt 3 \) hoặc \(a = - \sqrt 3 ,b = \sqrt 3 \) GTNN của \(P\) là 1, xảy ra khi \(a = b = 1\) hoặc \(a = b = - 1\). |
0,25 |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn. |
|
Vẽ đúng hình đến ý 1) |
|
Xét tứ giác \(BCEF\) ta có: \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(\(BE\) là đường cao) |
|
\(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (\(CF\) là đường cao) |
|
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (đỉnh \(E\), \(F\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một góc vuông). |
|
Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\]. |
|
Do tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ABC}\] (vì cùng bù với \(\widehat {FEC}\)) |
|
Kẻ đường kính \(AQ\) \( \Rightarrow \Delta AQC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow \widehat {QAC} + \widehat {AQC} = 90^\circ \) |
|
Xét \(\left( O \right)\) có |
|
\[ \Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {EAO} = 90^\circ \Rightarrow AO \bot EF\] |
|
Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\). |
|
\(\widehat {EAO} = \widehat {HAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {EAP} = \widehat {IAB}\) |
|
\(\widehat {AEP} = \widehat {ABI}\)
|
|
\[\left( 1 \right)\] \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\) \(\left( 2 \right)\) |
|
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HQ\) \(\left( 3 \right)\) Xét tứ giác \(BHCQ\) có: \(BH\,{\rm{//}}\,CQ\) (vì cùng vuông góc với \(AC\)) \(BQ\,{\rm{//}}\,CH\) (vì cùng vuông góc với \(AB\)) \( \Rightarrow BHCQ\) là hình bình hành \( \Rightarrow BC,HQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Mà \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(HQ\) \( \Rightarrow H,K,Q\) thẳng hàng (4) Từ (3) và (4) suy ra \(KH\,{\rm{//}}\,IP\). |
|
Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\]. |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. |
|
Bồn nước đựng được số mét khối nước là: \[0,32.1,75 = 0,56\,\,\left( {{m^3}} \right).\] |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập