Giải phương trình: \[{x^4} - 7{x^2} - 18 = 0.\]

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\).

1) Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].

3) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đường thẳng \(AO\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(I\), đường thẳng \[EF\] cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(P\). Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao \[1,75\,\,m\] và diện tích đáy là \[0,32\,\,{m^2}\]. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau \[15\] ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong \[3\] ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong \[5\] ngày thì cả hai đội hoàn thành được \[25\% \] công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[(d):y = 2mx - {m^2} + 1\] và parabol \[(P):y = {x^2}\].

a) Chứng minh \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả giá trị của m để \[(d)\] cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

Cho hai biểu thức \[A = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}}\] và \[B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\] với \[x \ge 0,x \ne 25\].

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

2) Rút gọn biểu thức \[B\].

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức  \[P = A.B\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].