Giải phương trình: \[{x^4} - 7{x^2} - 18 = 0.\]

Chứng minh bốn điểm \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

Vẽ đúng hình đến ý 1)

Xét tứ giác \(BCEF\) ta có:

\(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(\(BE\) là đường cao)

\(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (\(CF\) là đường cao)

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (đỉnh \(E\), \(F\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một góc vuông).

Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF\].

Do tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ABC}\] (vì cùng bù với \(\widehat {FEC}\))

Kẻ đường kính \(AQ\)

\( \Rightarrow \Delta AQC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat {QAC} + \widehat {AQC} = 90^\circ \)

Xét \(\left( O \right)\) có

\[ \Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {EAO} = 90^\circ  \Rightarrow AO \bot EF\]

Chứng minh tam giác \(APE\) đồng dạng với tam giác \(AIB\) và đường thẳng \(KH\) song song với đường thẳng \(IP\).

\(\widehat {EAO} = \widehat {HAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {EAP} = \widehat {IAB}\)

\(\widehat {AEP} = \widehat {ABI}\)

\[\left( 1 \right)\]

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HQ\) \(\left( 3 \right)\)

Xét tứ giác \(BHCQ\) có:

\(BH\,{\rm{//}}\,CQ\) (vì cùng vuông góc với \(AC\))

\(BQ\,{\rm{//}}\,CH\) (vì cùng vuông góc với \(AB\))

\( \Rightarrow BHCQ\) là hình bình hành

\( \Rightarrow BC,HQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(HQ\)

\( \Rightarrow H,K,Q\) thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(KH\,{\rm{//}}\,IP\).

Cho biểu thức \[P = {a^4} + {b^4} - ab\], với \[a,b\] là các số thực thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + ab = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[P\].

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là \[x\] và \[y\] (ngày) \[\left( {x > 15,y > 15} \right)\].

Một ngày đội thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong \[15\] ngày thì hoàn thành xong công việc nên trong một ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{{15}}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\]                                         (1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được \[\frac{3}{x}\] (công việc).

Năm  ngày đội thứ hai làm được \[\frac{5}{y}\] (công việc).

Vì đội thứ nhất làm trong \[3\] ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong \[5\] ngày  thì cả hai đội hoàn thành xong \[25\%  = \frac{1}{4}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\]                                              (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 40\end{array} \right..\]

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x = 24\) và \(y = 40\) thỏa mãn.

Kết luận: thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[24\] (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[40\] (ngày).