Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,C,\,\,D\) không cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,\,N\) sao cho \(MN\) cắt \(BC\) tại \(E\) . Điểm \(E\) thuộc mặt phẳng nào sau đây?

a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).

Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)

Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).

Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].

Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).

Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)    

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

Với mọi \(n \in \mathbb{N}*,\) xét hiệu số:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{n + 1 + \frac{3}{2}}}{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \left( {\frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}} \right)\) \( = \frac{{n + \frac{5}{2}}}{{2{n^2} + 2n + 3}} - \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right) - \left( {n + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{{ - 5n - 2}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}} < 0{\rm{   }}\forall n \ge 1.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.