Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư \(A\) và \(B\). Trạm nước sạch đặt tại vị trí \(C\) trên bờ sông. Biết \(AB = 3\sqrt {17} \;{\rm{km}}\), khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(AM = 3\;{\rm{km}},BN = 6\;{\rm{km}}\) (hình vẽ). Gọi \(T\) là tổng độ dài đường ống từ trạm nước đến \(A\) và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(G,M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GD} \).

b) \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} \).

d) \(\overrightarrow {MD}  =  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} {\rm{. }}\)

Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x\). Khi đó:

a) Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol: \(I( - 1; - 1){\rm{. }}\)

b) Bảng biến thiên:

c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

d) Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Cho \(\sin \alpha  = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \).

a) Giá trị \(\sin \alpha .\cos \alpha  < 0\).

b) Có \(\cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

c) Có \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

d) Giá trị biểu thức \(\frac{{6\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha  + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{2}{5}\).