II. Tự luận (3,0 điểm)

(1,0 điểm) Giải phương trình:

a) \(\cot \left( {x + 30^\circ } \right) = \cot \frac{x}{2}\);                                          b) \(\sin 2x = \cos 3x\).

a) Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x+20°\ne k.180°\\ \frac{x}{2}\ne k.180°\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 30°\\ x\ne n.360°\end{array}\right.(k,n\in \mathbb{Z})$

Ta có \(\cot \left( {x + 30^\circ } \right) = \cot \frac{x}{2}\)

\( \Leftrightarrow x + 30^\circ = \frac{x}{2} + k\,.\,180^\circ \)

\( \Leftrightarrow 2x + 60^\circ = x + k\,.\,360^\circ \)

\( \Leftrightarrow x = - 60^\circ + k\,.\,360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 60^\circ + k\,.\,360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\sin 2x = \cos 3x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5};\,\,x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).