Cho tam giác \(ABC\), gọi \(I\) là điểm trên \(BC\) kéo dài sao cho \(IB = 3IC\). Gọi \(J,K\) lần lượt là những điểm trên cạnh AC, AB sao cho \(JA = 2JC\); \(KB = 3KA\). Khi đó \(\overrightarrow {BC}  = m.\overrightarrow {AI}  + n.\overrightarrow {JK} \). Tính tổng \(P = m + n\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BK}  + \overrightarrow {KJ}  + \overrightarrow {JC} \).

Có \(\overrightarrow {BK}  =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)\( =  - \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\)\( =  - \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AI}  - \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\)\( =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AI}  + \frac{9}{8}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \(\overrightarrow {JC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AI}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BK}  + \overrightarrow {KJ}  + \overrightarrow {JC} \)\( =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AI}  + \frac{9}{8}\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {KJ}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AI}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \)\( =  - \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {KJ}  + \frac{{23}}{{24}}\overrightarrow {BC} \).

Suy ra \(\overrightarrow {BC}  =  - 10\overrightarrow {AI}  + 24\overrightarrow {KJ} \)\( =  - 10\overrightarrow {AI}  - 24\overrightarrow {JK} \).

Do đó \(m =  - 10;n =  - 24 \Rightarrow m + n =  - 34\).