Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\sqrt 2 ,AC = 6,\widehat {BAC} = 45^\circ \). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\) Điểm \(E\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AC} \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\) (tham khảo hình vẽ). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 0\).

b) \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = 45^\circ \).

d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vì D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \).

b) Vì D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 135^\circ \).

d) Ta có \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AE}  =  - \overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AC} \).

Xét \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AC} } \right)\)\( =  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{{k - 1}}{2}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \frac{k}{2}{\overrightarrow {AC} ^2}\)

\( =  - \frac{1}{2}{\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} + \frac{{k - 1}}{2}.4\sqrt 2 .6.\cos 45^\circ  + \frac{k}{2}{.6^2}\)\( =  - 16 + 12\left( {k - 1} \right) + 18k = 30k - 28\).

Để \(AD \bot BE\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE}  = 0\)\( \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).