Một hình thang vuông \(ABCD\) có đáy lớn \(AB = 8a\), đáy nhỏ \(CD = 4a\), đường cao \(AD = 6a\), \(I\) là trung điểm của \(AD\). Tính giá trị \(\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} \) có dạng \(k{a^2}\). Khi đó \(k\) bằng bao nhiêu?

Vì \(AB = 2CD\) nên \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {DC} \).

Vì E là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {CE} \).

Vì ADCE là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {EC} \).

Vì DCBE là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {CB} \).

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BM} \) (vì M là trung điểm của \(BD\)).