Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 12 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 12 ở bảng sau:

Số vỏ chai nhựa	\(\left[ {10,5;15,5} \right]\)	\(\left[ {15,5;20,5} \right]\)	\(\left[ {20,5;25,5} \right]\)	\(\left[ {25,5;30,5} \right]\)	\(\left[ {30,5;35,5} \right]\)
Số học sinh	53	82	48	39	18

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Ta có không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 10!\).

Gọi A là biến cố: “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

\(\overline A \) là biến cố “Có ít nhất 2 học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

\({A_1}\) là biến cố: “Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”;

\({A_2}\) là biến cố: “Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”.

Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).

- Đếm \(n\left( {{A_1}} \right)\): Trước hết cặp ghế cho 2 học sinh 12A ngồi có 5 cách, đổi chỗ 2 bạn này có \(2!\) cách xếp; xếp 8 học sinh còn lại có \(8!\) cách. Do đó \(n\left( {{A_1}} \right) = 5 \cdot 2!\, \cdot 8!\).

- Đếm \(n\left( {{A_2}} \right)\): Chọn cặp ghế chứa 2 học sinh lớp 12B có 5 cách, chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế này có \(A_3^2\) cách; xếp 8 học sinh còn lại có \(8!\) cách. Do đó \(n\left( {{A_2}} \right) = 5 \cdot A_3^2 \cdot 8!\).

- Đếm \(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\): Chọn 2 cặp ghế trong 5 cặp ghế có \(C_5^2\) cách; trong 2 cặp này chọn 1 cặp cho 2 học sinh lớp 12A có 2 cách, đổi chỗ 2 học sinh này có \(2!\) cách; chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế còn lại có \(A_3^2\) cách; xếp 6 học sinh còn lại có \(6!\) cách.

Do đó \(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = C_5^2 \cdot 2 \cdot 2! \cdot A_3^2 \cdot 6!\).

Suy ra \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 1\,440\,000\).

Từ đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{63}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{38}}{{63}} \approx 0,6\).

Đáp án: 0,6.

Ta có \(x + 120 + y + 70 + 60 = 400\)\( \Leftrightarrow x + y = 150\).

Trường hợp 1: \[x > 100 \Rightarrow 0 < y < 50\].

Ta có \[{Q_1} \in \left[ {0;20} \right)\] nên \[{Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{400}}{4}}}{x}.\left( {20 - 0} \right) = \frac{{2000}}{x}\].

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\) nên \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \frac{{2000}}{x} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow x = \frac{{1200}}{{17}} < 100\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(0 < x \le 100 \Rightarrow 50 \le y < 150\).

Khi đó, \({Q_1}\)\( \in \left[ {20;\,40} \right)\). Suy ra \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{400}}{4} - x}}{{120}} \cdot \left( {40 - 20} \right) = 20 + \frac{{100 - x}}{6}\).

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\). Suy ra \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \left( {20 + \frac{{100 - x}}{6}} \right) = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn).

Suy ra \(y = 100\).

Vậy ta có mẫu số liệu hoàn thiện như sau:

Thời gian tự học trung bình của 400 học sinh là

\(\frac{{10 \cdot 50 + 30 \cdot 120 + 50 \cdot 100 + 70 \cdot 70 + 90 \cdot 60}}{{400}} = 48,5\).

Đáp án: 48,5.