Cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) cùng nằm trên một đường thẳng. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi và chỉ khi

Hướng dẫn giải

Gọi số bánh trưng được gói là \(x\) (bánh), số bánh ống được gói là \(y\) (bánh) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó số điểm thưởng là \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 6y\).

Số \(kg\) gạo nếp cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\)thịt ba chỉ cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\,\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\) đậu xanh cần dúng là: \(0,1x + 0,15y\,\left( {kg} \right)\).

Vì yêu cầu cuộc thi là sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vậy miền nghiệm là phần miền trong tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,0} \right),A\left( {0;\,\,\frac{{80}}{3}} \right),B\left( {40;\,\,0} \right)\) như hình vẽ sau:

Biểu thức \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi \(\left( {x;\,y} \right)\) là toạ độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right),\,\,B\left( {40;\,0} \right)\).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {0;\,0} \right) = 5.0 + 6.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right)\) có \(f\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right) = 5.0 + 6.\frac{{80}}{3} = 160\);

Tại \(B\left( {40;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {40;\,0} \right) = 5.40 + 7.0 = 200\).

Suy ra \(f\left( {x;\,y} \right)\) lớn nhất bằng \(200\) khi \(x = 40\) và \(y = 0\).

Vậy để được điểm thưởng lớn nhất thì cần gói \(40\) cái bánh trưng và \(0\) cái bánh ống.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đáp án A ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm) nên \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} \) là mệnh đề sai.

Xét đáp án B ta có: \(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \) (theo quy tắc hình bình hành) là mệnh đề đúng.

Xét đáp án C ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm). Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} \) là một mệnh đề đúng.

Xét đáp án D ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc hình bình hành) là một mệnh đề đúng.