Phần không gạch chéo ở hình sau đây (kể cả biên) là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn đáp án \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\]?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Gọi đường thẳng \({d_1}:y = ax + b\)

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua hai điểm \(\left( { - 4;\,0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \({d_1}\) ta được hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4a + b\\2 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x + 2\) hay \({d_1}:x - 2y = - 4\)

Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) có \(1 - 2.0 = 1 > - 4\) và điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng \({d_1}\)) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \(x - 2y > - 4\).

+) Gọi đường thẳng \({d_2}:y = a'x + b'\)

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua hai điểm \(\left( {0;\,0} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \({d_2}\) ta được hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = 0.a' + b'\\2 = 1.a' + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 2\\b' = 0\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow {d_2}:y = 2x\) hay \({d_1}:2x - y = 0\)

Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) có \(2.1 - 0 = 2 > 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng \({d_2}\)) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \(2x \ge y\).

Từ đó ta có hệ bất phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.\).