Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A(1;1; - 1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) Gọi \[H(a;b;c)\] là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(d.\) Tính tổng \(a + b + c.\)

a) Sai       b) Đúng      c) Sai               d) Sai

a) Từ: \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow u  = (1\,; - 1\,;2)\).

b) Mặt cầu tâm \(A(0;1;3)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25\).

c) Phương trình tham số của \(\)\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - t\\z = 2t\end{array} \right.\)

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên \(d\)  \( \Rightarrow H \in d \Rightarrow H(t + 1\,; - t\,;2t)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AH}  = (t + 1\,; - t - 1\,;2t - 3)\)

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên \(d\) \(\)

\(\)\( \Leftrightarrow AH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AH}  \bot \vec u\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\vec u = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow H(\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{4}{3})\) 

d) Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu tại \(2\) điểm phân biệt \(M,N\). Tọa độ của \(M,N\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - t\\z = 2t\\{x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25\end{array} \right.\)

Giải hpt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)\(\)\( \Rightarrow M(0\,;1\,; - 2),N(\frac{{10}}{3}; - \frac{7}{3}\,;\frac{{14}}{3})\)

Khi đó: \(MN = \frac{{20}}{3} \approx 6.67\)

Vậy: Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là: \(6,67km\)