Cho \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\), giá trị của biểu thức\(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\)bằng

Kí hiệu như hình vẽ trên với \(A\), \(C\) lần lượt là đỉnh và chân của tòa nhà; \(B\) và \(D\) lần lượt là đỉnh và gốc của cây.

Xét tam giác \(ABC\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCD} = 24^\circ \\\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ACB} = 66^\circ \).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {xAB} = 60^\circ \\\widehat {xAB} + \widehat {CAB} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {CAB} = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {66^\circ + 30^\circ } \right) = 84^\circ \).

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 84^\circ }} \Rightarrow BC = \frac{{AC \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 84^\circ }} = \frac{{155 \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 84^\circ }} \approx 77,93\) (m).

Xét tam giác \(CBD\) vuông tại \(D\)

Ta có: \(\sin \widehat {BCD} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \sin 24^\circ \approx \frac{{BD}}{{77,93}} \Rightarrow BD \approx 77,93 \cdot \sin 24^\circ \approx 31,70\) (m)

Vậy chiều cao của cái cây khoảng 31,70 mét.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

\(3.0 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0\) là một mệnh đề sai.

\(2.0 - 0 > 1 \Leftrightarrow 0 > 1\) là một mệnh đề sai.

Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

\(2.0 + 4.0 < 1 \Leftrightarrow 0 < 1\) là một mệnh đề đúng.

\(0 - 3.0 + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 0\) là một mệnh đề sai.

Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

\(0 - 2.0 + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0\) là một mệnh đề đúng.

\(3.0 - 4.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) là một mệnh đề đúng.

Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

\(2.0 + 0 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\) là một mệnh đề sai.

\(4.0 - 3.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\) là một mệnh đề đúng.

Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.