II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập. Radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện. Tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu một là 250 000 đồng, lãi thu được khi bán một chiếc radio kiểu hai là 180 000 đồng. Hỏi cần sản xuất như thế nào để tiền lãi thu được là nhiều nhất, biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 ?

Ta có: \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]

\( \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} - B{C^2} - A{D^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {A{B^2} - B{C^2}} \right) + \left( {C{D^2} - A{D^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {CD} }^2} - {{\overrightarrow {DA} }^2}} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {CA} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)} \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow AC \bot BD\).

Vậy hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A đúng.

+) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DA} \), sai do \(A,\,\,D\) phân biệt, do đó đáp án B sai.

+) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} \), sai do \(A,\,\,C\) phân biệt, do đó đáp án C sai.

+)\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} \), sai do \(A,\,\,C\) phân biệt, do đó đáp án D sai.