Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = 9\,\,{\rm{cm}},\,\,BC = 20\,\,{\rm{cm}},\,\,CD = 25\,\,{\rm{cm}},AD = 12\,\,{\rm{cm, }}BD = 15\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

 

Khi đó:

a) Đúng.

Ta có: \(MN\parallel BC\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).

b) Sai.

Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) (cmt) nên \(\Delta ABC \sim \Delta AMN\) (c.c.c).

c) Đúng.

Từ a) ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AM}}{4} = \frac{{AN}}{6} = \frac{{MN}}{8} = \frac{{BM}}{6} = \frac{{AM + BM}}{{4 + 6}} = \frac{{AB}}{{10}} = \frac{4}{{10}}\).

Do đó, \(AN = \frac{4}{{10}}AC = \frac{4}{{10}}.6 = 2,4{\rm{ cm}}\).

            \(MN = \frac{4}{{10}}.8 = 3,2{\rm{ cm}}\).

d) Đúng.

Ta có \(\Delta AMN \sim \Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\) (từ câu b).

Do đó, \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} = \frac{4}{{25}}\).

a) Đúng.

Vì \(IK\parallel BC\) nên \(\Delta ABC \sim \Delta AIK\).

b) Đúng.

Vì \(\Delta ABC \sim \Delta AIK\) nên \(k = \frac{{IK}}{{BC}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\).

Do đó, tỉ số đồng dạng của \(\Delta ABC\) và \(\Delta AIK\) bằng \(\frac{1}{3}.\)

c) Sai.

Có \(\Delta ABC \sim \Delta AIK\) nên \(\frac{{IK}}{{BC}} = \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).

Do đó, \(AI = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

d) Sai.

Vì \(\Delta ABC \sim \Delta AIK\) nên \(\widehat {AKI} = \widehat {ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 60 = 70^\circ \).