I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

Đáp án đúng là: B

Vì \[ABCD\] là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAD\).

Khi đó \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 60^\circ \).

Tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Do đó, \(AC = AB = BC = 2\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - \overrightarrow {CA} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \)\( = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).

Từ giả thiết \(M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \[MB = 2MC\] nên ta có \[\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \].

Đặt \[AB = x;{\rm{ }}AC = y\] ta có \[{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\] (1) (Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))

Mặt khác từ \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \].

Nên có \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,{\rm{ }}\left( {{\rm{Do }}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) ta có \[y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\]. Vậy \[AC = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\].