(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[BC = 2a\], \(M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \[MB = 2MC\]. Biết rằng \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}\]. Tính độ dài cạnh \(AC\)?

Đáp án đúng là: B

Vì \[ABCD\] là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAD\).

Khi đó \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 60^\circ \).

Tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Do đó, \(AC = AB = BC = 2\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - \overrightarrow {CA} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \)\( = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).