(1 điểm) Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi \(\,x\),\(y\) lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm \(\,x\),\(y\) để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là: \(160x + 110y\)

với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).

Số đơn vị protein có trong\(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(800x + 600y\).

Vì gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên \(800x + 600y \ge 900\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\).

Số đơn vị lipit có trong\(\,x\)  kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(200x + 400y\).

Vì gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipit nên \(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\).

Tổng số tiền phải trả khi mua \(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \[T = 160x + 110y\] (nghìn đồng).

Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \[T = 160x + 110y\] nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(ABCD\) với tọa độ các đỉnh: \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).

Tính giá trị của biểu thức \(T\) tại các đỉnh của tứ giác ta được:

Tại \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\): \(T\left( {1,6;\,\,1,1} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 1,1 = 377\) nghìn đồng;

Tại \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\): \(T\left( {1,6;\,0,2} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 0,2 = 278\) nghìn đồng;

Tại \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\): \(T\left( {0,6;\,0,7} \right) = 160 \cdot 0,6 + 110 \cdot 0,7 = 173\) nghìn đồng;

Tại \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\): \(T\left( {0,3;\,1,1} \right) = 160 \cdot 0,3 + 110 \cdot 1,1 = 169\) nghìn đồng.

Biểu thức \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất là 169 tại \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {0,3;\,\,1,1} \right)\).

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).