Cho hình thoi \[ABCD\] cạnh bằng 2 và \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Khi đó, \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \) bằng

Từ giả thiết \(M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \[MB = 2MC\] nên ta có \[\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \].

Đặt \[AB = x;{\rm{ }}AC = y\] ta có \[{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\] (1) (Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))

Mặt khác từ \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \].

Nên có \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,{\rm{ }}\left( {{\rm{Do }}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) ta có \[y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\]. Vậy \[AC = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\].

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là: \(160x + 110y\)

với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).

Số đơn vị protein có trong\(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(800x + 600y\).

Vì gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên \(800x + 600y \ge 900\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\).

Số đơn vị lipit có trong\(\,x\)  kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(200x + 400y\).

Vì gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipit nên \(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\).

Tổng số tiền phải trả khi mua \(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \[T = 160x + 110y\] (nghìn đồng).

Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \[T = 160x + 110y\] nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(ABCD\) với tọa độ các đỉnh: \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).

Tính giá trị của biểu thức \(T\) tại các đỉnh của tứ giác ta được:

Tại \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\): \(T\left( {1,6;\,\,1,1} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 1,1 = 377\) nghìn đồng;

Tại \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\): \(T\left( {1,6;\,0,2} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 0,2 = 278\) nghìn đồng;

Tại \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\): \(T\left( {0,6;\,0,7} \right) = 160 \cdot 0,6 + 110 \cdot 0,7 = 173\) nghìn đồng;

Tại \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\): \(T\left( {0,3;\,1,1} \right) = 160 \cdot 0,3 + 110 \cdot 1,1 = 169\) nghìn đồng.

Biểu thức \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất là 169 tại \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {0,3;\,\,1,1} \right)\).

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).