II. Tự luận (4 điểm)

(1 điểm) Trong một hội thi hùng biện ngôn ngữ có 200 thí sinh tham dự. Mỗi thí sinh tham gia thi một hoặc hai hoặc ba thứ tiếng: Hàn Quốc, Trung Quốc hoặc Anh. Biết rằng có 78 thí sinh chỉ thi tiếng Anh, 70 thí sinh thi tiếng Hàn Quốc, 80 thí sinh thi tiếng Trung Quốc, 18 thí sinh thi cả tiếng Hàn Quốc và tiếng Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu thí sinh thi cả 3 thứ tiếng?

Gọi \(O\), \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\).

Ta có:

\(P = M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\)

\( = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {2\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) - \left( {M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} + O{C^2}} \right)\)

\( = 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + O{A^2} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OA} - O{B^2} - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} - O{C^2}\)

\( = - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right) + O{A^2} - O{B^2} - O{C^2}\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA'} } \right)\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot 2\overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4{R^2} \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right)\).

Ta có:

\(b = {P_{\min }} = - 6{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right) = 1 \Leftrightarrow M \equiv A\)

\(a = {P_{\max }} = 2{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right) = - 1 \Leftrightarrow M \equiv A'\)

\( \Rightarrow T = 4a + 3b = 4 \cdot 2{R^2} + 3 \cdot \left( { - 6{R^2}} \right) = - 10{R^2}\)

Tam giác đều cạnh 3 cm có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\].

Do đó, \(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{3 \cdot 3 \cdot 3}}{{4 \cdot \frac{{9 \cdot \sqrt 3 }}{4}}} = \sqrt 3 \).

Vậy \[T = - 10{R^2} = - 10 \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = - 30\].

Đáp án đúng là: D

Cho vectơ \(\overrightarrow a \) khác vectơ – không, số thực k khác 0, ta có: \(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right|\).