(1 điểm) Xưởng Liên Hà định dùng hai loại hoa khô để chiết xuất ra 140 kg tinh dầu \(A\) và 9 kg tinh dầu \(B\). Từ mỗi tấn hoa khô loại I giá 4 triệu đồng, có thể làm được 20 kg tinh dầu \(A\) và 0,6 kg tinh dầu \(B\). Từ mỗi tấn hoa khô loại II giá 3 triệu đồng có thể chiết xuất được làm được 10 kg tinh dầu \(A\) và 1,5 tinh dầu \(B\). Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn hoa khô mỗi loại để chi phí mua hoa khô là ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp hoa khô chỉ có thể cung cấp không quá 9 tấn hoa khô loại I và không quá 10 tấn hoa khô loại II.

Gọi \(O\), \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\).

Ta có:

\(P = M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\)

\( = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {2\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) - \left( {M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} + O{C^2}} \right)\)

\( = 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + O{A^2} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OA} - O{B^2} - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} - O{C^2}\)

\( = - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right) + O{A^2} - O{B^2} - O{C^2}\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA'} } \right)\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot 2\overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4{R^2} \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right)\).

Ta có:

\(b = {P_{\min }} = - 6{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right) = 1 \Leftrightarrow M \equiv A\)

\(a = {P_{\max }} = 2{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right) = - 1 \Leftrightarrow M \equiv A'\)

\( \Rightarrow T = 4a + 3b = 4 \cdot 2{R^2} + 3 \cdot \left( { - 6{R^2}} \right) = - 10{R^2}\)

Tam giác đều cạnh 3 cm có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\].

Do đó, \(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{3 \cdot 3 \cdot 3}}{{4 \cdot \frac{{9 \cdot \sqrt 3 }}{4}}} = \sqrt 3 \).

Vậy \[T = - 10{R^2} = - 10 \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = - 30\].

Đáp án đúng là: D

Cho vectơ \(\overrightarrow a \) khác vectơ – không, số thực k khác 0, ta có: \(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right|\).