Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một hình vuông kích thước 4 m × 4 m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (như hình vẽ dưới đây). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 10 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ đó hoàn thành trang trí hình vuông trên? Biết tiền nước sơn 1 m² là 80 000 đồng.

Theo quy luật trang trí một hình vuông trên thì ta có các tam giác được tô màu sẽ là tam giác vuông cân.

Gọi \({u_n}\) là diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ \(n\), với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ đầu tiên là \(\frac{4}{2} = 2\,\,\left( {\rm{m}} \right).\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ đầu tiên là

\({u_1} = 2\left( {\frac{1}{2}.2.2} \right) = 4\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ hai là \(\frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2}} \, = \sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right).\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ hai là

\({u_2} = 2\left( {\frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 } \right) = 4.\frac{1}{2}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ ba là\(\frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 1\,\,\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ ba là

\({u_3} = 2\left( {\frac{1}{2}.1.1} \right) = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

Ta có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Tổng diện tích của các tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ 10 là:

\({S_{10}} = \frac{{4\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1\,\,023}}{{128}}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy số tiền nước sơn là \(\frac{{1\,\,023}}{{128}}.80\,\,000 = 639\,\,375\) đồng.