Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một hình vuông kích thước 4 m × 4 m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (như hình vẽ dưới đây). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 10 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ đó hoàn thành trang trí hình vuông trên? Biết tiền nước sơn 1 m² là 80 000 đồng.

Đáp án đúng là: A

Vì \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(NA = ND = \frac{{AD}}{2} = BC.\)

Xét tứ giác \(BCDN\) có: \(ND = BC\) và \(ND{\rm{//}}BC\) (do \(AD{\rm{//}}BC\)).

Suy ra \(BCDN\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow NB{\rm{//}}CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Xét tam giác \(SAD\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Ta có: \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right);\,\,MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) và \(NB \cap MN = N\) trong \(\left( {BMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

a) • Xét \(\Delta SAC\) có: \(M,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,AC\) nên \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\), suy ra \[MO{\rm{//}}SC.\]

Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

• Xét \[\Delta DCB\] có: \(N,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \[CD,\,\,BD\] nên \(NO\) là đường trung bình của \[\Delta DCB\], suy ra \(NO{\rm{//}}BC.\)

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Ta có: \(MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right);\,\,NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) và \(MO \cap NO = O\) trong \(\left( {OMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Vậy (OMN) // (SBC).

b) Ta có: \(J\) một điểm trên \(\left( {ABCD} \right)\) và cách đều \(AB,\,\,CD;\)

\(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Suy ra \(J\) thuộc đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(AB\) và \(CD.\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(H = OJ \cap AD,\,\,H \in AD.\)

Khi đó \(OH{\rm{//}}AB.\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(OH{\rm{//AB}}\) và \(O\) là trung điểm của \(BD.\)

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(AD.\)

Xét \(\Delta SAD\) có: \(I,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(SD,\,\,AD\) nên \(IH\) là đường trung bình của \(\Delta SAD\), suy ra \[{\rm{IH//}}SA.\]

Mà \(SA \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow IH{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Do \(J \in OH\) nên \(JH{\rm{//AB}}\) (do \(OH{\rm{//}}AB\)).

Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(JH{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Ta có: \(JH{\rm{//}}\left( {SAB} \right);\,\,IH{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) và \(JH \cap IH = H\) trong \(\left( {IJH} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {IJH} \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) (do \(IJ \subset \left( {IJH} \right)\)).