Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta HIK\) có \(\frac{{AB}}{{HI}} = \frac{{AC}}{{HK}},\;\,\widehat A = \widehat H\) thì

a) Đúng.

Ta có: \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\,\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\)

Do đó, \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HB}}{{HC}} = \frac{2}{3}.\)

b) Sai.

Có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HB}}{{HC}} = \frac{2}{3}\) và \(\widehat {AHB} = \widehat {BHC} = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta AHB \sim \Delta BHC\) (c.g.c).

c) Đúng.

Vì \(\Delta AHB \sim \Delta BHC\) (c.g.c) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {BCH}\).

d) Đúng.

Có \(\widehat {ABH} = \widehat {BCH}\).

Mà \(\widehat {CBH} + \widehat {BCH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ABH} + \widehat {BCH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)

a) Đúng.

Theo đề, ta có \(\Delta ABD \sim \Delta ACE\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\) (hai góc tương ứng).

Do đó ý a) đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(AC = 3AE\) hay \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}\); \(AD = \frac{1}{3}AB\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\). Do đó, ý b) đúng.

c) Sai.

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\), có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (cmt)

\(\widehat A\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) (c.g.c)

Do đó, ý c) sai.

d) Đúng.

Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ACE\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (2 góc tương ứng) (1)

Lại có, \(\widehat {EIB} = \widehat {DIC}\) (hai góc đối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta EIB \sim \Delta DIC\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IB}}{{IC}}\) suy ra \(IE.IC = IB.ID\).

Do đó, ý d) đúng.