II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản \(A\) đến bản \(B\), người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản \(A\) đến bản \(C\) dài 12 km rồi nối từ bản \(C\) đến bản \(B\) dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được \(\widehat {ABC} = 65^\circ \). Hỏi so với việc nối thẳng từ bản \(A\) đến bản \(B\), người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.

Đáp án đúng là: A

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(C\) là trung điểm của \(MI\). Ta có:

\[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \].

Đáp án đúng là: D

Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ ngược hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 180^\circ = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).