(1 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2 + x; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;\,\,2} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow v = \left( { - 5;\,\,8} \right)\) là vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u \). Tìm \(x\) biết \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right|\).

Ta có: \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \)

\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64} = \sqrt {89} ;\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89} = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \)

\( \Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.\)

Khi \(x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v \) (tm)

Khi \(x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)\) (ktm)

Vậy \(x = \frac{{ - 5}}{4}\).