II. Tự luận (4 điểm)

 (1 điểm) Một tháp viễn thông cao 48 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc \(25^\circ \) so với phương ngang. Từ đỉnh tháp, người ta neo một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m như hình dưới. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Đáp án đúng là: A

Xét chữ nhật\(ABCD\) có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (áp dụng quy tắc hình bình hành).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\), suy ra

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13} \).

+ Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {AC}  = \left( {3;2} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {AC}  = \left( { - 12; - 8} \right)\]

\[\overrightarrow {CE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {AC}  = \left( { - 15; - 11} \right)\]

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - {x_C} =  - 15\\{y_E} - {y_C} =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 =  - 15\\{y_E} - 5 =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} =  - 11\\{y_E} =  - 6\end{array} \right..\) Vậy \(E\left( { - 11; - 6} \right)\).

+ Ta có: \(\overrightarrow {AF}  = \left( {{x_F} - 1;{y_F} - 3} \right)\)

\(\overrightarrow {BF}  = \left( {{x_F} - 0;{y_F} - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {BF}  = \left( {2{x_F};2{y_F} - 4} \right)\)

\(\overrightarrow {CF}  = \left( {{x_F} - 4;{y_F} - 5} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {CF}  = \left( { - 4{x_F} + 16; - 4{y_F} + 20} \right)\)

Vì \[\overrightarrow {AF}  + 2\overrightarrow {BF}  - 4\overrightarrow {CF}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_F} - 1} \right) + 2{x_F} + \left( { - 4{x_F} + 16} \right) = 0\\\left( {{y_F} - 3} \right) + \left( {2{y_F} - 4} \right) + \left( { - 4{y_F} + 20} \right) = 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_F} + 15 = 0\\ - {y_F} + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} = 15\\{y_F} = 13\end{array} \right.\). Vậy \(F\left( {15;13} \right)\).