II. Tự luận (4 điểm)

 (1 điểm) Một tháp viễn thông cao 48 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc \(25^\circ \) so với phương ngang. Từ đỉnh tháp, người ta neo một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m như hình dưới. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[2\overrightarrow {a\,}  - \overrightarrow b  = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x  =  - \overrightarrow x \], do đó vectơ \[2\overrightarrow {a\,}  - \overrightarrow b \] ngược hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án A sai.

Lại có: \[ - \,\overrightarrow {a\,}  + \frac{1}{2}\overrightarrow b  = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,}  + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x \], do đó vectơ \[ - \,\overrightarrow {\,a\,\,}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,} \] cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án B đúng.

Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ \[4\,\overrightarrow {a\,}  + 2\overrightarrow {b\,} \] và \[ - \,\overrightarrow {a\,}  + \overrightarrow b \] dưới dạng \(k\overrightarrow x \). 

Đáp án đúng là: A

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 8 \cdot \cos 180^\circ  =  - 16\).