II. Tự luận (4 điểm)

(1 điểm) Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga \(A\) đến ga \(B\). Khi tàu đỗ ở ga \(A\), qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp \(C\) như hình dưới. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi tàu một góc 60°. Khi tàu đỗ ở ga \(B\), người đó nhìn lại vẫn thấy tháp \(C\), hướng nhìn từ người đó đến tháp tại với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 45°. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga \(A\) với ga \(B\) dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) là bao nhiêu?

Ta xem vị trí ga \(A\), ga \(B\) và tháp \(C\) như các điểm, nối với nhau tạo thành \(\Delta ABC\).

Theo bài ra ta có \(AB = 8\) km, \[\widehat {CAB} = 60^\circ ,\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ \].

Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{8 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 5,86\) (km).

Vậy khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) xấp xỉ bằng 5,86 km.