(1,0 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Điểm \[M\] bất kỳ nằm trong tam giác có hình chiếu xuống \[BC,\,AC,\,AB\] theo thứ tự là \[D,\,E,\,F\]. Tìm tập hợp điểm \[M\] biết rằng \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} \].

Gọi \[I\] là trung điểm của \[AD\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MI} \].

Vậy nên \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 2\overrightarrow {MI} \].

Để \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \] thì \[\overrightarrow {MI} \] cùng phương \[\overrightarrow {BC} \].

 Suy ra \(MI\parallel BC\), mà \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên \(MI\)là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó tập hợp các điểm \[M\] là đoạn \[PQ\] (với \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), \(P \in AB,Q \in AC\)).