(1,0 điểm).

a) Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).

b) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(A',\,\,B',\,\,C'\) là các điểm xác định bởi \(2011\overrightarrow {A'B} + 2012\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \), \(2011\overrightarrow {B'C} + 2012\overrightarrow {B'A} = \overrightarrow 0 \), \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn giải

a) Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).

Vì \(AB \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt 2 a\) (định lí Pythagoras)

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = - CA.CB.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - a.a\sqrt 2 .{\rm{cos45}}^\circ = - {a^2}\).

b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

+) Ta có: \(2011\overrightarrow {A'B} + 2012\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {A'G} + 2011\overrightarrow {GB} + 2012\overrightarrow {A'G} + 2012\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {A'G} + 2011\overrightarrow {GB} + 2012\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) \(\left( 1 \right)\).

+) Ta có: \(2011\overrightarrow {B'C} + 2012\overrightarrow {B'A} = \overrightarrow 0 \)

\[ \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {B'G} + 2011\overrightarrow {GC} + 2012\overrightarrow {B'G} + 2012\overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {B'G} + 2011\overrightarrow {GC} + 2012\overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \] \(\left( 2 \right)\).

+) Ta có: \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow 0 \)

\[ \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {C'G} + 2011\overrightarrow {GA} + 2012\overrightarrow {C'G} + 2012\overrightarrow {GB} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {C'G} + 2011\overrightarrow {GA} + 2012\overrightarrow {GB} = \overrightarrow 0 \] \(\left( 3 \right)\).

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

\[ \Leftrightarrow 4023\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + 4023\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow 4023\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + 4023.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).