Giải các phương trình

a) \({4^{2x + 2}} = 8\);                                                    b) \({\log _2}\left( {3x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2\).

a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên \({P_0} = 1000\).

Sau hai ngày, số lượng vi khuẩn là \(P = 125\%  \cdot 1000 = 1250\).

Ta có \(P\left( 2 \right) = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow 1250 = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{5}{4} \Rightarrow a \approx 1,12\).

b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là \(P\left( 5 \right) = 1000 \cdot {\left( {1,12} \right)^5} \approx 1800\).

c) Với \(P\left( t \right) = 2{P_0} \Leftrightarrow 2{P_0} = {P_0} \cdot {1,12^t} \Leftrightarrow {1,12^t} = 2 \Leftrightarrow t = {\log _{1,12}}2 \approx 6,1\) ngày.

Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng gấp đôi số lượng ban đầu.

Ta có \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right) + \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{1 - \left( {1 - x} \right)}}} \right)\)\( = \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2x}}{{1 - x}} + \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}\)

\( = \frac{1}{2}{\log _2}\left[ {\frac{{2x}}{{1 - x}} \cdot \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}} \right]\)\( = \frac{1}{2}{\log _2}4 = 1\).

Ta có \(S = \left[ {f\left( {\frac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2023}}{{2025}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{{1012}}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{1013}}{{2025}}} \right)} \right] = 1012\).