Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau \(f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)\), trong đó \(c\) là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, \(k\) (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, \(t\) (ngày) là thời gian học và \(f\left( t \right)\) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. (nguồn: R.I. Charles et al, Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là \(k = 0,2\). Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 8 ngày? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).

b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x <  - 2\) (loại).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < x < m\).

Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).

Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).

Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).

d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).

Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.

\({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\)\( = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^4}\)\( = 3{\log _a}a + 4{\log _a}b\)\( = 3 + 4 \cdot 3 = 15\). Chọn A.